Булова алгебра. алгебра на логиката. Елементи на математичката логика

Во денешниот свет, ние се повеќе со користење на различни машини и апарати. И не само кога тоа е потребно да се применат буквално натчовечки сила: се движи товарот да го подигне на висина, копа долг и длабок ров, итн автомобили денес се соберат роботи, храната се готви Multivarki и основните аритметички пресметки произведе калкулатори ... Се повеќе и почесто слушаме фразата "Булова алгебра". Можеби е дојдено време да се разбере улогата на човекот во создавањето на роботи и машини способноста за решавање не само математички, но исто така и логички проблеми.

логика

Во грчката логика - суредена систем на мислата која создава врска помеѓу дадените услови и ви овозможува да се донесат заклучоци врз основа на претпоставки и проценки. Мошне често, бараме од еден на друг: "Тоа е логично да се" Одговорот што го потврдува нашите претпоставки или критикува воз на мислата. Но, процесот не запира тука: Продолжуваме да се зборува.

Понекогаш број на услови (влез) е толку голема, како и односот помеѓу нив е толку збунувачки и сложени дека човечкиот мозок не е во можност да се "свари" на сите одеднаш. Можеби ќе треба повеќе од еден месец (недела, година) за да се разбере што се случува. Но модерниот живот не ни дава овие временски интервали за да се донесуваат одлуки. И ние се прибегне кон помош на компјутери. И тоа е тука дека постои алгебра и логика, со нејзините закони и својства. По симнувањето на сите оригинални податоци, ние им овозможи на компјутер да го препознае сите односи, да ги отстранат противречностите и да се најде задоволително решение.

Математиката и логиката

Познати Gotfrid Vilgelm Leybnits формулирал концептот на "математичката логика", кои задачи се лесно да се разбере само мал круг на научници. Од особен интерес е во насока не предизвика, а до средината на XIX век на математичката логика познат по неколку.

Големиот интерес во научната заедница предизвика спор во кој Англичанецот Dzhordzh Бул прогласи својата намера да се воспостави гранка на математиката, а не има апсолутно никаква практична употреба. Како што знаеме од историјата, во ова време активно развивање на индустриското производство, ние развивме сите видови на помошни машини, т. Е. Сите научни откритија имале практична ориентација.

Гледајќи напред, ние велиме дека Булова алгебра - најмногу се користи во светот денес се дел од математиката. Значи вашиот аргумент Buhl изгубени.

Dzhordzh Бул

Личноста на авторот заслужува посебно внимание. Дури и со оглед на фактот дека во минатото луѓето израснал пред нас, се уште треба да се забележи дека во 16 години на Јован. Buhl предава во селското училиште, а на 20 години ја отвори својата сопствена училиште во Линколн. Математичар совршено совладале пет странски јазици, а во слободното време, читал делата на Њутн и Лагранж. И сето тоа - на синот обичен работник е!

Во 1839 година, Buhl испрати својот прв научни трудови од Кембриџ Математичка весник. Научник кој 24 години. работа Бул е толку заинтересирани членови на Кралското друштво, во 1844 година тој доби медал за неговиот придонес во развојот на математичката анализа. се опишани неколку објавени трудови во кој елементите на математичката логика, математика и овозможи на младите да ги преземе функцијата професор на Колеџот за округот Корк. Потсетиме дека во многу Бул образование не беше.

идејата

Во принцип, Булова алгебра е многу едноставна. Постојат извештаи (логички изрази) дека, од гледна точка на математика, може да се дефинира само во два збора: "вистина" или "лажни". На пример, дрва во пролет цветаат - вистината, во текот на летото снег - лага. Убавината на математиката е дека тоа не е строго неопходно да се користи само со броеви. За пресудите на алгебра сосема одговара никакви изјави со единствено значење.

Така, алгебра на логика може да се користи буквално насекаде: во планирање и пишување настава, анализа на конфликтни информации за настаните и утврдување на редоследот на активностите. Најважно - да сфатат дека тоа не е важно колку ние да се утврди вистината или лажноста на извештаи. Од овие "како" и "зошто", ќе треба да се игнорира. Она што е важно е само изјава на факт: вистината е лага.

Се разбира, програмирање на најважните функции на алгебра на логиката дека се снимени со соодветни знаци и симболи. И да научат - тоа значи да се научи нов странски јазик. Ништо не е невозможно.

Основни концепти и дефиниции

Без да навлегуваме во длабочина, ќе се занимаваат со терминологија. Значи, Булова алгебра подразбира:

• извештаи;
• логички операции;
• функции и законите.

Извештаи - било позитивен израз кој што може да се толкува ценет. Тие се напишани како броеви (5> 3) или формулирани познати зборови (слон - најголемата цицачи). Во овој случај, фразата "врат на жирафа не е", исто така, има право да постои, само Булова алгебра ја дефинираат како "лага".

Сите извештаи треба да бидат недвосмислени, но тие можат да бидат основни или соединение. Последни употреба логично пакет. Д. Во комплексот на алгебра изјави пресуди формирана со додавање на основни операции логика.

Булова алгебра операции

Ние веќе се сеќавам дека операциите во алгебра на судски решенија - логично. Исто како што на алгебра на броеви со користење на аритметички операции за да додадете, одземаат, или споредуваат броеви, математичката логика елементи овозможи да се направи комплексна изјави, да го одбие или да се пресмета конечниот резултат.

Логика операции за формализација и едноставност изрази со формулата, познат на нас во самата аритметика. Својства на Буловата алгебра равенки го прават тоа можно за да го снимите и да се пресмета со непознатото. Логички операции најчесто се снимени од страна на таблицата на вистинитост. Нејзините елементи се дефинира колони и работа со компјутери кои се врши врз нив, а редовите покаже резултат на пресметки.

Основната логика на акција

Најчестите во работењето на Буловата алгебра се негација (НЕ), така и логичките и и OR. Така, тоа е можно да се опише практично сите чекори во алгебра пресуди. Ние студирал во детали на секоја од трите операции.

Негацијата (не) се применува само на еден елемент (операнд). Затоа, операцијата се нарекува унарен негација. За снимање на концептот на "не", со употреба на таквите симболи: ¬A, A или !. Во табеларна форма тоа изгледа вака:

Функцијата на негирање типични за таква изјава: ако A е точно, тогаш А - е лажна. На пример, Месечината се врти околу Земјата - на вистината; Земјата се врти околу месечината - лага.

Логичка множење и прилог

Логичка и работа се нарекува сврзник. Што значи тоа? Прво, дека тоа може да се примени за две операнди, односно, јас - .. Бинарни операција. Второ, тоа е само во случај на вистината на двата операнди (и А и Б) се точни и самиот израз. Изреката "Трпение и малку напор" имплицира дека само два фактори може да му помогнат на лицето се справат со тешкотиите.

симболи се користат за снимање: A∧B, A⋅B или A && Б.

Врска е сличен на множење во самата аритметика. Понекогаш и да каже - логично множење. Ако ви се размножуваат на елементи од редовите на табелата, ние се добие резултат сличен на логично размислување.

Дисјункција е логично или операција. Тоа е точно, ако барем една од изјавите е точно (или А или Б). Тоа е напишано вака: A∨B, А + Б или А || Б. таблицата на вистинитост за овие операции се:

Дисјункција слични аритметички прилог. логичка операција Покрај тоа има само една ограничување: 1 + 1 = 1. Но, се сеќавам дека во дигитален формат е ограничено на математичката логика 0 и 1 (каде што 1 - вистината, 0 - лажни). На пример, изјавата "во музејот може да се види ремек-дело или да се најде добра компанија" значи она што може да се види уметнички дела, и тоа е можно да се сретне со интересна личност. Во исто време, не се исклучува можноста за истовремена исполнување на двата настани.

Функции и законите

Значи, ние веќе знаеме што логичка операција со користење на Булова алгебра. Функции се опише сите својства на елементите на математичката логика, и ни овозможи да се поедностави комплекс соединение извештаи. Најмногу јасен и едноставен чини отфрлање на имотот на работењето на деривати. Со деривати се сфати XOR, импликација и еквивалентност. Како што прочитав само со основни операции, а потоа и на имотот е, исто така, само да ги разгледа.

Асоцијативност значи дека во изјави како "двете А и Б и Б" секвенца листата на операндите не е важно. Формулата е напишан како што следува:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Како што можете да видите, ова не е единствена во врска, но дисјункција.

Комутативност тврди дека резултат на совпаѓање или дисјункција не зависи од тоа кој предмет се смета на самиот почеток:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Дистрибутивност овозможува открие голема заграда во сложени логички изрази. Правилата се слични на заграда отворот во множење и тоа во алгебра:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

Единица својства и нула, што може да биде еден од операндите, исто така, се слични на алгебарски множење со нула или еден, и додавање на единица:

A∧0 = 0, A∧1 = A; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Идемпотенција ни кажува дека ако релативно две еднакви операнди резултат на работа е ист, може да се "фрли" на вишокот комплицира размислување операнди. И работењето на сврзникот и дисјункција се idempotent.

B∧B = B; B∨B = Б.

Стекнување исто така ни овозможува да се поедностави на равенката. Апсорпција вели дека кога на изразување е да се примени на еден операнд друга операција на истиот елемент на операнд резултатот е апсорбирање операција.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = Б.

секвенца од операции

Редоследот на операции е од големо значење. Всушност, како и за алгебра, постои приоритет функција дека го користи Булова алгебра. Формули може да се поедностави предмет само на значењето на операции. Пласман од најзначајните да се занемарливи, ние се добие на следниот редослед:

1. негирање.

2. врска.

3. дисјункција, XOR.

4. имплицитно, еквивалентност.

Како што можете да видите, само негација на сврзникот и немаат еднаков приоритет. Приоритет на дисјункција и XOR се еднакви, како и приоритетите на укажувањето и еквивалентност.

Функции на укажувањето и еквивалентност

Како што рековме, во прилог на основните логички операции, математичка логика и теорија на алгоритми користење деривати. Тоа најчесто е импликација и еквивалентност.

Импликацијата или логична последица - оваа изјава, во која една акција е услов, а другиот - резултат на неговото спроведување. Со други зборови, овој предлог со изговор дека "ако ... тогаш". "По вечерата доаѓа претпоставка." Е. За возење да бидат построги на sled ридот. Ако не постои желба да се движи надолу од планината, а потоа повлечете sled не е потребно. Е напишана така: → Б или A⇒B.

Еквиваленција се подразбира дека нето ефект се јавува само кога двата операнди се вистинити. На пример, ноќта дава начин за ден потоа (и само тогаш), кога сонцето изгрева над хоризонтот. Во јазикот на математичката логика на оваа изјава е напишана како A≡B, A⇔B, А == Б.

Другите закони на Буловата алгебра

пресуда алгебра се развива, и голем број на заинтересирани научниците да формулираат нови закони. Најпознати се сметаат постулати шкотски математичар О. Де Морган. Тој забележа и даде дефиниција на такви својства како блиски, негација, тоа и двојно негативни.

Затвори негирање укажува на тоа дека пред заграда постои негирање: не (А или Б) = Не A или B. НЕ

Кога операнд е одбиен, без оглед на неговата вредност, да се каже во врска со тоа:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

И на крај, самиот двојна негација компензира. т.е. пред или операнд негација исчезнува или ќе остане само еден.

Како да се реши тестови

Логика подразбира поедноставување предодредено равенки. Исто како и во алгебра лагата, потребно е максимално да се олесни првиот услов (да се ослободи од комплициран влез операции, и со нив), а потоа почнете да барате точниот одговор.

Што да направите за да се поедностави? Конвертирате сите деривати во едноставна операција. Потоа ги открие сите држачите (или обратно, да се направи голема заграда да се намали овој елемент). Следниот чекор треба да биде да се користи Буловата алгебра имот во пракса (апсорпција својства нула и еден, и t.).

На крајот на краиштата, равенката треба да се состои од најмалку бројот на непознати, во комбинација со едноставни операции. Најлесен начин да барате решение, ако се направи голем број на блиски негативни. Тогаш одговорот ќе се појави како од себе.