На Дериват на синус од аголот е еднаква на косинус од истиот агол

Dana едноставен тригонометрија функција y = sin (x), е диферентабилно на секоја точка од целиот домен. Ние мора да докаже дека изводот на синус на секој аргумент е еднаква на косинус од истиот агол, што е, '= cos (x).

Доказ е врз основа на дефиницијата на дериват на функција

Ние се дефинираат x (произволна) во некои мали соседството на одредена точка x Δh _0. Ние ќе се покаже вредноста на функција во него, а во точката x да се најде чекорот на дадената функција. Ако Δh - аргумент зголемува, новиот аргумент - ова x ₀ + Δx = x, вредноста на оваа функција за дадена вредност на аргументот (x) е еднаков sin (x ₀ + Δx), вредноста на функцијата на одредена точка (x ₀₎ е исто така познат .

Сега имаме Δu = sin (x ₀ + Δh) -Sin (x ₀₎ - добиени функцијата прираст.

Според формулите за синус збирот на два нееднакви агли ние ќе се конвертира разликата Δu.

Δu = sin (x ₀₎ · COS (Δh) + cos (x ₀₎ · Гревот (Δx) минус sin (x ₀₎ = (COS (Δx) -1 ) · Sin ( x ₀₎ + cos (x ₀₎ · Гревот (Δh).

Врши пермутација однос групирани прва до трета sin (x _0), да излезат на заеднички фактор - синус - голема заграда. Добивме во изразот Кос разлика (Δh) -1. Го остави да го промените знакот пред заграда и голема заграда. Знаејќи го она што е на 1-Кос (Δh), ние се направи промена и да добие поедноставен израз Δu, кои потоа се дели со Δh.
Δu / Δh ќе имаат форма: cos (x ₀₎ · Гревот (Δh) / Δh 2 · Гревот ² (0.5 x Δh) · sin (x ₀₎ / Δh. Ова е односот на прираст на функцијата за прием на чекорот на аргумент.

Останува да се најде на лимитот на соодноси добиени од нас во текот на lim Δh, со тенденција да се нула.

Познато е дека границата Гревот (Δh) / Δx е еднаква на 1, под услов. И изразувањето 2 · Гревот ² (0.5 x Δh) / Δh во резултат на збирот особено трансформации на производ кој содржи како прв множител извонреден граница: броителот на фракција и znemenatel јаз за 2, квадратот на синус замени производ. Еве како:
(SIN (0,5 · Δx) / (0,5 · Δx)) · Гревот (Δx / 2).
Границата на овој израз кога Δh има тенденција да се нула, ќе биде еднаков на бројот на нула (0 множи со 1). Излегува дека границата на односот Δy / Δh е cos (x ₀₎ · 1-0, ова е cos (x _0), изразот на кое е независно од Δh тенденција да 0. заклучок: дериват на синус од секој агол е еднакво на x косинус од x, може да се запише како што се: Y '= cos (x).

На што резултира со формулата во табелата на познати деривати, каде што сите основни функции е наведена

Во решавање на проблемите, каде што ги исполнува дериват на синус, можете да го користите правила на диференцијација и готови формули на табелата. На пример: најдат на дериват од наједноставните функција y = 3 · sin (x) -15. Ние ги користиме на елементарните правила изведувањето отстранување нумерички фактор за знак на извод и да се пресмета извод постојан број (кој е нула). Нанесете синус маса вредноста на Дериват на агол x еднаква cos (x). Добиваат одговор: Y '= 3 · cos (x) -O. Оваа дериват, пак, е, исто така, елементарна функција y = H · cos (x).

На Дериват на синус квадрат од ниту еден аргумент

Во пресметката на изразување (Sin ² (x)) "мора да се сеќавам како диференцирани комплексна функција. Значи, ² = sin (x) - е функција на моќ, како sine квадрат. аргумент Нејзините исто така е тригонометриска функција, сложен аргумент. На резултат во овој случај е еднаков на производот на првиот множител е квадратен на комплексот Дериват на аргументот, а вториот - на Дериват на синус. Тука е правило за разликување функција на функција: (u (V (x))) "е (U (V (x)))" · (V (x)). Изразување на V (x) - комплекс аргументот (внатрешна функција). Ако дадена функција "y е еднаква на синус квадрат x", а потоа на Дериват на оваа композитни функција е Y '= 2 · sin (x) · cos (x). На производот на првиот множител двојно - Дериват на познат експоненцијална функција, и cos (x) - Дериват на синус комплекс аргументот на квадратната функција. Конечниот резултат може да се трансформира со користење на формулата на тригонометриските синус од двојно агол. A: дериватот е Гревот (2 · x). Оваа формула е лесно да се запомни, тоа често се користи како табела.