На неопределен интеграл. Пресметка на неопределени интеграли

Една од основните делови на математичката анализа е составен анализа. Таа опфаќа многу широко поле на објекти, каде што првиот - тоа е неопределен интеграл. Позиција тоа е како клуч, кој се уште е во средно училиште открива зголемување на бројот на перспективи и можности, која ја опишува виша математика.

изглед

На прв поглед, се чини сосема составен до современи, актуелни, но во пракса се покажа дека тој се врати во 1800 година пред нашата ера. Дом на официјално се смета Египет не се постигне ни порано докази за своето постоење. Тоа се должи на недостаток на информации, сите, додека позициониран едноставно како феномен. Тој уште еднаш се потврдува ниво на научен развој на народите од тие времиња. Конечно, делата се пронајдени антички грчки математичари, кои датираат од 4 век пред нашата ера. Тие ја опишуваат користи метод каде што неопределен интеграл, суштината на која требаше да се најде на звукот или област на криволиниски облик (три-димензионални и две-димензионални авион, соодветно). Пресметката е врз основа на принципот на поделба на првобитната фигура во бесконечно компоненти, под услов количината (област) е веќе познато за нив. Со текот на времето, методот се зголеми, Архимед го користи да се најде во областа на парабола. Слични пресметки во исто време да се спроведе вежби во античка Кина, каде што тие се целосно независни од грчките колеги науката.

развој

Следниот чекор во XI век пред нашата ера стана работата на арапскиот научник "вагон" Абу Али Ал-Басри, кои се наметнува на границите на веќе познато, беа добиени од интегрална формула за пресметување на износите на износите и степени од прво до четврто, да аплицираат за овој познат за нас индукција метод.
Умови од денес се восхитуваат од страна на древните Египќани ја создал прекрасни споменици без специјални алатки, освен оној на нивните раце, но не е моќ луди научници на не помалку време чудо? Во споредба со сегашните времиња на нивниот живот се чини дека речиси примитивни, но одлуката на неопределени интеграли изведени насекаде и се користи во пракса за понатамошен развој.

Следниот чекор се одржа во XVI век, кога италијанскиот математичар Cavalieri донесе неделива метод, кој крена Пер Ferma. Овие две личност ги поставил основите на модерната составен анализа, кој е познат во моментот. Тие врзани концептите на диференцијација и интеграција, кои претходно се гледа како автономни единици. Од страна и големи, математиката на тоа време беше фрагментирана честички постојат наоди од страна на самите себе, со ограничена употреба. Начин да се обединат и да се најде заеднички јазик е единствениот вистински во моментов, благодарение на него, модерната математичка анализа имаа можност да расте и да се развива.

Со текот на времето се менува сè и интегрален симбол, како и. Од страна и големи, тој беше прогласен за научниците кои на свој начин, на пример, Њутн користи иконата на плоштадот, кој стави интегралност функција, или едноставно да се стави заедно. Овој диспаритет траеше се до XVII век, кога обележје за целата теорија на математичката анализа научник Gotfrid Leybnits воведе таков карактер познат за нас. Издолжена "S" е, всушност, врз основа на ова писмо на латиница, бидејќи означува збир на примитиви. Името на интегрален добиени благодарение на Јакоб Бернули, по 15 години.

Формалната дефиниција

На неопределен интеграл зависи од дефиницијата на примитивен, па затоа сметаат дека во на прво место.

Antiderivative - е инверзна функција на изводот, во пракса тоа се нарекува примитивни. Инаку: примитивна функција на d - е функција D, која е дериват на v <=> V '= v. Барај примитивното е да се пресмета неопределен интеграл, а самиот процес е наречен интеграција.

На пример:

На функција S (y) = y ^3, и својата примитивна S (y) = (y ^4/4).

Множеството од сите примитивците на функцијата - ова е неопределен интеграл, тоа означува како што следува: ∫v (x) dx.

Врз основа на фактот дека V (x) - се само некои примитивни оригиналната функција, изразување содржи: ∫v (x) dx = V (x) + C, каде C - константна. Под произволни постојано се однесува на било постојано, бидејќи нејзините деривати е нула.

својства

На својства поседува од страна на неопределен интеграл, во суштина врз основа на дефиницијата и својства на деривати.
Размислете за клучни точки:

• составен Дериват на примитивното е сама по себе, плус произволни постојана C <=> ∫V примитивни '(x) dx = V (x) + C;
• Дериват на интеграл на функцијата е оригиналната функција <=> (∫v (x) dx) '= V (x);
• постојано се вади од под составен знак <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, каде што k - е случаен;
• составен, која е донесена од збирот на идентично еднаков на збирот на интеграли <=> ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

Во последните две својства може да се заклучи дека на неопределен интеграл е линеарна. Поради ова, ние имаме: ∫ (kV (y) dy + ∫ LW (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

За да видите примери на одредување решенија неопределени интеграли.

Мора да се најде интегралот ∫ (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Од пример можеме да заклучиме дека вие не знаете како да се реши неопределени интеграли? Само најдете сите примитивците! Но, од пребарувањето за принципите дискутира подолу.

Методи и примери

Со цел да се реши составен, можете да се впуштат во следниве методи:

• подготвени да ги искористат предностите на маса;
• интегрирање од страна на делови;
• интегрирани со замена на променлива;
• сумирање под знакот на диференцијал.

маси

Најмногу едноставен и пријатен начин. Во моментов, математичка анализа може да се пофали доста обемна маси, кои напишани од основната формула на неопределени интеграли. Со други зборови, постојат шаблони добиени до вас и може да се земе само предност од нив. Тука е листа на главни позиции маса, која може да се прикажат речиси секој случај, има решение:

• ∫0dy = C, каде што C - постојана;
• ∫dy = y + C, каде што C - постојана;
• ∫y ⁿ dy = (y ^{n + 1)} / (n + 1) + C, каде што C - постојана, и n - број различен од единство;
• ∫ (1 / y) dy = ln | Y | + C, каде што C - постојана;
• ^{∫e y dy = e y + C} , каде што C - постојана;
• ^{∫k y dy = (k Y /} ln k) + C, каде што C - постојана;
• ∫cosydy = siny + C, каде што C - постојана;
• ∫sinydy = -cosy + C, каде што C - постојана;
• ∫dy / cos ² y = tgy + C, каде што C - постојана;
• ∫dy / гревот ² y = -ctgy + C, каде што C - постојана;
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, каде што C - постојана;
• ∫chydy = срамежлив + C, каде што C - постојана;
• ∫shydy = CHY + C, каде што C - константа.

Доколку е потребно, да се направи неколку чекори водат integrand во приказот табеларно и да уживаат во победа. ПРИМЕР: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C.

Според одлуката, јасно е дека на пример маса integrand нема мултипликатор 5. Ние го додадете во паралела со овој множење со 1/5 на општ израз не се промени.

Интеграција со делови

Размислете две функции - z (y) и x (y). Тие мора да бидат постојано диферентабилно на својот домен. Во една диференцијација својства имаме: d (XZ) = xdz + zdx. Интегрирањето на двете страни, добиваме: ∫d (XZ) = ∫ (xdz + zdx) => ZX = ∫zdx + ∫xdz.

Препишување на равенката резултат, ќе го добиеме формула, која го опишува начинот на парцијална интеграција: ∫zdx = ZX - ∫xdz.

Зошто е тоа потребно? Фактот дека некои од примерите што е можно за да се поедностави, да речеме, да се намали ∫zdx ∫xdz, ако тоа е во близина на форма на табела. Исто така, оваа формула може да се користи повеќе од еднаш, за оптимални резултати.

Како да се реши неопределени интеграли на овој начин:

• потребно да се пресмета ∫ (s + 1) e ^2S DS

∫ (x + ^{1) e 2S DS = {z =} s + 1, dz = ds, y = 1 ^{/ 2д 2S, dy = e 2x} DS} = ((S + 1) Е ^2S) / 2-1 / 2 ∫e ^2S dx = ((s + 1) e ^2S) / 2-e ^2S / 4 + C;

• мора да се пресмета ∫lnsds

∫lnsds = {z = lns, dz = DS / S, Y = S, dy = DS} = slns - ∫s x DS / s = slns - ∫ds = slns -S + C = S (lns-1) + C.

Замена на променлива

Овој принцип на решавање на неопределени интеграли не помалку отколку во побарувачката на претходните две, иако комплицирано. Методот е како што следува: Да V (x) - интегрален на некои функција v (x). Во случај тоа само по себе составен во Пример slozhnosochinenny збор, најверојатно, да се мешаат и да си одат по погрешен пат решенија. За да се избегне оваа практика промена од променливата x до Ш, во која општ израз визуелно поедноставен, додека одржување на z зависно од x.

Во математичка смисла, ова е како што следува: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y -1 (x)), каде што x = y ( z) - супституција. И, се разбира, на инверзна функција z = y ^-1 (x) во целост го опишува односот и односот на променливи. Важна забелешка - диференцијалната dx мора да се замени со нов диференцијал dz, бидејќи промената на променлива во неопределен интеграл вклучува замена на тоа насекаде, не само во integrand.

На пример:

• мора да се најде ∫ (s + 1) / ⁽² + 2S s - 5) DS

Спроведување на супституција z = (s + 1) / (s ² + 2S-5). Потоа dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ДС <=> (s + 1) ДС = dz / 2. Како резултат на тоа, на следниот израз, кој е многу лесно да се пресмета:

∫ (s + 1) / (s ² + 2S-5) DS = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s ² + 2S-5 | + C;

• ќе мора да најде составен ∫2 ^с е ^S DX

За да се реши преработи во следната форма:

^{∫2 s e s DS = ∫ (} 2e) s DS.

Го означуваме со a = 2д (замена на аргументот овој чекор не е, се уште е), ние им дадеме на нашите навидум комплицирана составен дел на основната форма табеларен:

^{∫ (2e) s DS = ∫a} s DS = a S / LNA + C = (2e) S / ln (2e) + C = 2 ^s e ^S / ln (2 + lne) + C = 2 ^s e ^S / (ln2 + 1) + C.

Сумирајќи диференцијален знак

Од страна и големи, овој метод на неопределени интеграли - брат близнак на принципот на промена на променлива, но постојат разлики во процесот на регистрација. Дозволете ни да се разгледа во повеќе детали.

Ако ∫v (x) dx = V (x) + C и y = z (x), а потоа ∫v (y) dy = V (y) + C.

Во исто време, ние не смееме да заборавиме дека тривијалниот составен трансформации, меѓу кои:

• dx = d (x + а), и каде што - секоја постојана;
• dx = (1 / а) d (ax + b), каде што - постојана повторно, но не е нула;
• xdx = 1 / 2d (x ² + b);
• sinxdx = -D (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Ако ги земеме предвид општиот случај, каде што се пресмета неопределен интеграл, примери може да се подведе под општата формула w '(x) dx = DW (x).

примери:

• мора да се најде ∫ (2S + 3) ² DS, DS = 1 / 2d (2S + 3)

∫ (2S + 3) ² DS = 1 / 2∫ (2S + 3) ² d (2S + 3) = (1/2) x ((2S + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2S + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (COSS) / COSS = -ln | Центарот за слободен софтвер | + C.

онлајн помош

Во некои случаи, грешка на која може да стане или мрзеливост или итна потреба, можете да го користите онлајн инструкциите, или подобро кажано, да се користи калкулатор неопределени интеграли. И покрај очигледната комплексност и контроверзната природа на интеграли, одлуката е предмет на нивните специфични алгоритам, кој се базира на принципот на "ако не ... тогаш ...".

Се разбира, особено сложени примери на такви калкулатор нема да го совладате, како што постојат случаи во кои одлуката треба да се најде вештачки "принудени" со воведување на одредени елементи во процесот, бидејќи резултатите се очигледни начини да се постигне. И покрај контроверзната природа на оваа изјава, тоа е вистина, како математиката, во принцип, апстрактна наука, како и својата примарна цел разгледува потребата за зајакнување на границите. Навистина, за непречено работат во теориите е многу тешко да се движат нагоре и се развива, па не се претпостави дека примерите на решавање на неопределени интеграли, кој ни даде - ова е на висина на можности. Но назад на технички страна на нештата. Барем да се провери пресметките, можете да го користите на служба во која е напишана за нас. Ако постои потреба за автоматско пресметување на сложени изрази, тогаш тие не треба да се прибегне кон посериозен софтвер. Треба да се обрне внимание првенствено врз животната средина MatLab.

апликација

Одлуката на неопределени интеграли на прв поглед се чини дека целосно одвоен од реалноста, бидејќи тоа е тешко да се види очигледно употреба на авионот. Всушност, директно ги користите насекаде, каде што не може, но тие се неопходен средно елемент во процесот на повлекување на решенија кои се користат во пракса. Така, процесот на интеграција на грбот диференцијација, со што активно учествува во процесот на решавање на равенки.
За возврат, овие равенки имаат директно влијание врз одлуката на механички проблеми, траекторија пресметка и коефициент на топлинска спроводливост - на кратко, сè што го сочинува сегашноста и обликувањето на иднината. Неопределен интеграл, примери од кои ги разгледавме погоре, тривијални само на прв поглед, како основа за извршување на повеќе и повеќе нови откритија.