Реални броеви и нивните имоти

Питагора тврди дека бројот е создавањето на светот на исто ниво со главните елементи. Платон смета дека бројот на линкови на феноменот и noumenon, помагајќи да се знае, за да се измери и да се извлечат заклучоци. Аритметички доаѓа од зборот "arifmos" - бројот, почетна точка во математиката. Тоа е можно да се опише било кој објект - од основното до јаболко апстрактни површини.

Потреби, како фактор на развојот

Во почетните фази на развој на општеството на потребите на луѓето се ограничени со потребата да се задржи резултат - .. Една кеса на жито, две жито торба, итн Да го направите ова, се природни броеви, во собата на која е бесконечна низа на позитивни цели броеви Н.

Подоцна, развојот на математиката како наука, беше неопходно во одредена област на цели броеви Z - тоа вклучува и негативни вредности и нула. Неговата појава на домашно ниво, тоа е предизвикано од фактот дека почетната сметководствена мораше некако да се поправи на долгови и загуби. На научно ниво, негативни броеви го направија тоа можно за решавање на едноставни линеарни равенки. Меѓу другото, тоа е сега возможно да се слика тривијална координатен систем, односно. А. Имаше референтна точка.

Следниот чекор е потребата да се влезе фракционо броеви, бидејќи науката не стои, се повеќе и повеќе нови откритија побара теоретска основа за нов раст притисок. Па имаше областа на рационални броеви П.

Конечно, повеќе не ги исполнуваат барањата на рационалноста, бидејќи сите нови сознанија бара оправдување. Имаше областа на реални броеви R, делата на непомирливост на одредени количини, бидејќи на нивната ирационалност Евклид. Тоа е, античкиот грчки математичар позиционирани не само број како постојана, но како апстрактна вредност кој се карактеризира со односот на incommensurable величини. Се должи на фактот дека постојат реални броеви, "ние ја виде светлината" вредности како што се "пи" и "Д", без кој модерната математика не може да се случи.

Конечниот иновации е комплексен број C. Тоа одговори на серија на прашања и ги отфрли претходно внесени постулати. Се должи на брзиот развој на алгебрата исход беше предвидлив - со реални броеви, на одлуката на многу проблеми не беше можно. На пример, благодарение на комплексни броеви стоеше надвор стринг теорија и хаос се прошири равенки на хидродинамика.

Теорија на множествата. Кантор

Концептот на бесконечност отсекогаш предизвика контроверзии, како што беше невозможно да се докаже или негира. Во контекст на математиката, која е управувана од строго проверат постулати, тоа се манифестира повеќето очигледно, повеќе од теолошки аспект се уште се мери во науката.

Сепак, преку работата на математичар Георг Кантор сите времиња падна во место. Тој докажа дека бесконечни множества постои бесконечна сет, како и дека на полето R е поголем од областа N, да и од нив и немаат крај. Во средината на XIX век, неговите идеи јавно повика глупости и злосторство против класичната непроменливи канони, но времето ќе се стави се што е во своето место.

Основните својства на областа R

Реалните броеви не само што имаат истите својства како podmozhestva дека тие ги вклучуваат, но се дополнети со други masshabnosti врз основа на нејзините елементи:

• Нула Р. постои и спаѓа во областа C + c = 0 за било в на Р.
• Нула постои и припаѓа на областа Р. в x 0 = 0 за било в на Р.
• в сооднос: d кога D ≠ 0 постои и важи за било c, d на Р.
• Поле R наредил, т.е. ако c ≤ D, D ≤ C, а потоа c = d за било каква c, d на Р.
• Додавање во R поле не е комутативен, т.е. c + d = d + C, за било каква c, d на Р.
• Множење во R поле не е комутативен, т.е. x в x d = D C за сите c, d на Р.
• Додавање во R поле не е асоцијативна т.е. (c + d) + f = c + (d + f) за кој било c, d, f на Р.
• Множење во R поле не е асоцијативна т.е. (в x Д) x f = c x (Д x f) за кој било c, d, f на Р.
• За секој број на областа R наспроти него, така што C + (-С) = 0, каде што, -C од Р.
• За секој број на R поле не постои нејзината инверзна, како што C x в ^-1 = 1, каде што C, C ^-1 на Р.
• Единица постои и припаѓа на R, така што C x 1 = c, за било c на Р.
• Таа има дистрибуција на електрична енергија законот, така што в x (d + f) = C x Д x + C f, за било в, г, ѓ на Р.
• полето на R е нула не е еднаква на единство.
• Поле што R е преоден: ако c ≤ D, D ≤ f, потоа C ≤ f за било каква c, d, f на Р.
• Со цел R и тоа се меѓусебно поврзани: Ако C ≤ d, а потоа c + f ≤ d + F за сите c, d, f на Р.
• Во редот на R и множење поврзани: ако 0 ≤ c, d 0 ≤, а потоа 0 ≤ c x d за било каква c, d на Р.
• Како негативни и позитивни реални броеви се континуирани, на пример, за било в, г од RF, постои од Р, дека в ѓ ≤ ≤ d.

поле не модул R

Реалните броеви вклучуваат такво нешто како модул. тоа, определени како | ѓ | за било f во Р. | ѓ | = F, ако 0 ≤ f и | f | = -F, ако 0> f. Ако ги земеме предвид модул како геометриско вредност, тоа е на далечина - тоа не е важно, "положил" вас, како нула во негативната на позитивната или нанапред.

Комплексни и реални броеви. Кои се сличностите и разликите?

Од страна и големи, комплексни и реални броеви - тие се една и иста, освен што прв се приклучи на имагинарната единица i, на плоштадот на кој е еднаков на -1. Елементи полиња R и C може да биде претставено со следнава формула:

• c = d + f x I, каде што D, F припаѓаат на областа R, и i - имагинарна единица.

За да се добие в од RF во овој случај едноставно се претпоставува дека е нула, односно, постои само реалниот дел на број. Бидејќи полето на комплексни броеви има истата функција во собата како од областа на реално, f x i = 0 Ако f = 0.

Во однос практични разлики, на пример во областа R квадратна равенка не може да се реши ако дискриминантен е негативен, додека кутија C не наметнува ова ограничување со воведување на имагинарната единица i.

резултати

"Тули" аксиоми и постулати врз основа на кои математиката, не се менуваат. На некои од нив се должи на зголемувањето на информации и воведување на нови теории поставени следниве "тули", која во иднина може да стане основа за следниот чекор. На пример, природни броеви, и покрај фактот дека тие се подмножество на реалниот поле R, не ја изгуби својата важност. Тоа е да се основа на сите основни аритметички, која започнува со познавање на еден човек на мирот.

Од практична гледна точка, реалните броеви изгледа како права линија. Тоа е можно да се избере насока, да се идентификуваат потеклото и теренот. Директно се состои од бесконечен број на поени, од кои секоја одговара на еден реален број, без оглед на тоа дали или не е рационален. Од описот јасно е дека станува збор за концепт, која е базирана математиката воопшто, и математичката анализа , а особено.