Парадоксот Расел: основни информации, примери, формулација

Расел Парадоксот е во две независни логично антиномија.

Две форми на парадокс Расел

Најчесто се дискутира облик на противречност во логиката комплети. Некои од собата се чини дека самите членови, и други - не. Множеството од сите групи сам по себе е во собата, така што се чини дека се работи за себе. Null или празна, сепак, не треба да биде член на себе. Затоа, во собата на сите сетови, како нула не е вклучена во себе. се јавува парадоксот кога на прашањето дали во собата на член на себе. Ова е можно ако и само ако тоа не е.

Друга форма Парадоксот е во контрадикција во однос својства. Некои својства, се чини дека да се однесуваат на себе, додека други не се. На имотот да биде во сопственост само по себе е имотот, а имотот да биде мачка не е. Се разгледа на имотот на кој има имот што не му припаѓа на него. ако тоа се однесува на себе? Повторно, ниту еден од претпоставките треба да биде спротивното. Парадоксот е именуван во чест на Бертранд Расел (1872-1970), кој го открил во 1901 година.

приказна

Отворање Расел случи за време на неговата работа на тема "Принципи на математика". Иако тој открил парадокс независно, постојат докази дека другите математичари и програмери на теоријата на множествата, вклучувајќи Ернст Цермело и Давид Хилберт, биле свесни за првата верзија на противречности пред него. Расел, сепак, беше првиот кој се дискутира во детали парадокс во неговите објавени дела, прво се обиде да формулира решенија и првиот целосно да го цениме своето значење. Цело поглавје на "принципи" беше посветена на дискусија за ова прашање, како и примена беше посветен на теорија на видови, кои Расел предложи како решение.

Расел открил "парадокс на лажго", со оглед на Кантор теорија на множествата во која се вели дека моќта на било кој збир е помал од собата на своите подгрупи. Барем во домен треба да биде што повеќе подгрупи, колку што има елементи во него, ако една подгрупа на секој елемент е поставена содржи само овој елемент. Исто така, Кантор покажа дека бројот на елементи не може да биде еднаков на бројот на подмножества. Ако имаше ист број, тоа ќе мора да постои ƒ функција која ќе се прикаже елементи на нивните подгрупи. Во исто време, тоа може да се докаже дека тоа е невозможно. Некои предмети може да бидат прикажани на функција ƒ подгрупи кои ги содржат, додека други не можат.

Размислете за подмножество на елементи кои не припаѓаат на нивните слики, во кои тие се прикаже ƒ. Тоа само по себе е подмножество на елементи, и затоа, ƒ функција ќе се прикаже на елемент во доменот. Проблемот е во тоа, тогаш се поставува прашањето за тоа дали овој елемент спаѓа во подгрупата на која се прикажува ƒ. Ова е можно само ако тоа не му припаѓа. Парадоксот Расел може да се гледа како на пример на иста линија на размислување, само поедноставен. Што е уште поважно - на групи или подгрупи на собата? Се чини дека треба да има повеќе сетови, како и сите подгрупи на себе сета. Но, ако теорема Кантор е точно, тогаш треба да има повеќе подгрупи. Расел смета едноставно прикажување поставува на себе и се применуваат kantoriansky пристап со оглед на множество на сите овие елементи, надвор од сет во кој се прикажува на екранот. Прикажани Расел станува збир на сите сетови, не.

грешка Фреге

"Парадоксот на лажго" имаше големо влијание на историскиот развој на теоријата на множества. Тој покажа дека концептот на универзален сет е многу проблематична. Тој, исто така, се сомневаат во идејата дека за секоја дефинирана состојба или предикат може да се претпостави постоење на мноштво на само оние нешта кои ги исполнуваат овој услов. Опција парадокс во врска со својства - природно продолжување на сетовите на верзија - покренува сериозни сомневања за тоа дали е можно да се расправаат за целта постоење на имот или универзална согласност за секоја утврдена од страна на состојба, или предикат.

Наскоро се пронајдени противречности и проблеми во работата на логичари, филозофи и математичари кои направиле слични претпоставки. Во 1902 година, Расел откри дека една варијанта на парадоксот може да се изрази во логичен систем, развиен во том на "Основи на аритметички" Готлоб Фреге, една од главните работи на логиката на крајот на XIX - почетокот на XX век. Во филозофијата на Фреге многу се сфати како "продолжување" или концептот "вредност опсег". Концептите се најблиску до оние на корелација. Тие се очекува да постои за било која дадена состојба или предикат. Така, не постои концепт на собата, што не потпаѓа под нејзиното дефинирање на концептот. Исто така постои и класа утврдени со овој концепт, а тоа е предмет на дефинирање на концептот, само ако тоа не е.

Расел напиша на Фреге за овој конфликт во јуни 1902 година Усогласување стана една од највозбудливите и зборуваше за во историјата на логиката. Фреге веднаш се признава катастрофалните последици на парадоксот. Тој, сепак, истакна дека верзијата на контроверзии во врска со имот во неговата филозофија беше решен со разликувањето помеѓу концептите на нивоа.

Поимот Фреге сфати како преминот од аргументите на функцијата на TRUE. Концептите прво ниво, земајќи како аргументи на објекти на концепти второто ниво се како аргументи на овие функции, и така натаму. Така, концептот никогаш не може да се земе како аргумент, и парадоксот во однос на имот не може да се формулирани. Сепак сетови, проширување или концепти Фреге сфати како по однос на истиот логични како што на сите други објекти. Тогаш за секој сет постои прашањето дали потпаѓа под концептот на дефинирање на тоа.

Кога Фреге, Расел доби првата буква, на вториот том на "Основи на аритметички" веќе е завршена печатење. Тој беше принуден брзо да подготви апликација која дава одговор на парадоксот на Расел. Примери Фреге содржани голем број на можни решенија. Но, тој дошол до заклучок да ја ослабне концептот на апстракција сет во логичен систем.

Во оригиналот, тоа беше можно да се заклучи дека предметот му припаѓа на сетот ако и само ако тоа паѓа во рамките на концептот, го дефинира. Ревидираниот систем може само да се заклучи дека предметот му припаѓа на сетот ако и само ако тоа паѓа во поимот на дефинирање на плуралноста, но не е поставена во прашање. се јавува парадоксот на Расел.

Решението, сепак, не е целосно задоволен со Фреге. И ова беше причина. Неколку години подоцна, посложена форма на противречност е пронајдено за ревидираниот систем. Но, дури и пред да се случи ова, Фреге напуштени неговите одлуки и се чини дека да се дојде до заклучок дека неговиот пристап, едноставно, беше неподнослива, и таа логика ќе треба да се направи без било која од сета.

Трети, пак, беа предложени, релативно поуспешно алтернативни решенија. Овие се дискутира подолу.

Теоријата на видови

Тоа беше забележано погоре дека Фреге беше соодветен одговор на парадоксите на теоријата на множествата во верзијата формулиран за својства. одговор Фреге му претходеше на најчесто се дискутира решение за овој вид на парадокс. Тоа се базира на фактот дека имотот се предмет на различни видови и тоа каков тип на имотот никогаш не е иста како и на предмети на кои се однесува.

Така, се поставува дури и не на прашањето, дали имотот е применлив за себе. Логички јазик, кој го дели елементите на таквата хиерархија, со користење на теоријата на видови. И покрај тоа што веќе се користи од страна на Фреге, за прв пат се целосно објаснети и потврдени Расел во Анексот на "принципот". Теоријата на видовите беше покомплетна од разликата на нивоата на Фреге. Таа дели својства не се само различни видови на логика, но, исто така, во собата. тип теоријата за решавање на контрадикција во парадоксот на Расел следи.

Со цел да се биде филозофски соодветно, усвојувањето на теоријата на видови на имот бара развој на теоријата на природата на својства, така што може да се објасни зошто тие не може да се примени за себе. На прв поглед, тоа го прави смисла да се предикатна својот имот. Имотот се биде сопствениот идентитет, се чини, тоа е, исто така, на сопствениот идентитет. Имотот се чини дека е убаво и пријатно. На ист начин, очигледно, се чини дека лажно да се каже дека имотот се мачка е мачка.

Сепак, разни мислители оправда поделбата на различни видови. Расел дури дадоа различни објаснувања во различни времиња во својата кариера. Од своја страна, во образложението за одделување на различните концепти на нивото на Фреге доаѓа од неговата теорија на незаситени концепти. Концепти како функција, во суштина, се нецелосни. Да обезбеди вредност, тие треба аргумент. Вие не само еден концепт може да предикатна концептот на ист вид, бидејќи се уште се бара аргумент својата. На пример, иако тоа е можно да се земе на квадратен корен од квадратен корен од голем број, можете да не само користење на квадратен корен функција за квадратен корен на функцијата и да се добие резултат.

За конзерватизам својства

Друго можно решение е парадокс својства негација својства постоење под никакви дадените услови, или добро формиран предикат. Се разбира, ако некој ги избегнува метафизички особености на објективни и независни елементи како целина, ако се земе nominalism парадокс може да се избегне целосно.

Сепак, да се реши антиномија не треба да биде толку екстремна. Логика системи повисок ред развиена Фреге и Расел, содржат она што се нарекува концептуални принцип, според кој секој отворен формули, без оглед на тоа како комплекс постои како дел од имотот или концепт на пример, само оние предмети кои одговараат на формулата. Тие се примени на атрибути на секој можен избор на услови или предикати, без оглед колку комплексна се тие.

Сепак, тоа беше можно да се преземат поригорозни метафизиката својства, го даваат правото на целта постоење на едноставни својства, вклучувајќи, на пример, како на пример црвена боја, цврстина, добрина и така натаму. Д. Можете дури и да ги споделите со овие својства се однесуваат на нив, како што се добрина може да се вид.

И истиот статус за сложени атрибути може да се негира, на пример, како "својства", како што има седумнаесет-глави, се напишани под вода и слично. D. Во овој случај, не предодредено состојба не ги исполнува имот, сфатена како одделно постоечки елемент, кој има свои особини. Така може да се негира постоењето на едноставна својства се-имотно-кои-не-се применуваат до себе и да се избегне парадокс со примена на повеќе конзервативни метафизичките својства.

Парадоксот Расел: решението

Пред тоа беше забележано дека на крајот на својот живот Фреге целосно се откажа од логиката на сета. Ова, се разбира, едно решение за антиномија во форма на групи: едноставен негирање на постоењето на таквите елементи, како целина. Покрај тоа, постојат и други популарни избори, основите на кои се прикажани подолу.

Теоријата за многу видови на

Како што споменавме порано, Расел играше за покомплетна теорија на видови, кои ќе делат не само својства или концепти за различни видови, но, исто така, во собата. Расел заеднички сет на плуралноста на одделни единици, мноштво на множества на одделни предмети, итн групи на предмети не се смета, и мноштво на множества - .. колекции. Многу никогаш не ужива видот, ви овозможува да имате како член на себе. Оттаму, не постои збир на сите групи кои не се членки на свој, бидејќи за секој сет на прашања за тоа дали е како член, самиот тип на повреда е. Повторно, прашањето тука е да се објаснат сета метафизика да се објасни филозофски темелите на поделба на видови.

стратификација

Во 1937 година, В. В. Kuayn понуди алтернативно решение, на начин сличен на теоријата на видови. Основни информации за тоа се.

Одвојување елемент поставува и други. Се направени така што претпоставката за наоѓање множество е секогаш точни или бесмислени. Сетови да се дава само кога дефинирање на нивните услови не се еден вид повреда. Така, на Квин, изразот "x не е член на x" е значајно изјава не значи постоење на множество на сите елементи x задоволување на оваа состојба.

Во овој систем постои сет за некои отворени формулата А ако и само ако тоа е стратификуван, т. Е. ако променливите се доделени позитивни цели броеви, така што за секоја карактеристика појава на плуралноста на претходните тоа променлива е доделен задача единица помал од променлива, следниве по него. Овој парадокс блокови Расел, бидејќи формула се користи за да се утврди сет проблем, таму е исто пред и после знакот за променлива членство што го прави unstratified.

Но тоа допрва треба да се утврди дали како резултат на систем, кој Квин наречен "Нов Основи на математичката логика" во согласност.

одбивање

Еден сосема поинаков пристап е донесена во теоријата на Цермело - Fraenkel (ZF). Овде, исто така, постави лимит на постоењето на сета. Наместо тоа, пристапот на "врвот надолу" на Расел и Фреге, кој првично се мислеше дека за сите концепти, својства, или услови може да укажуваат на постоење на множество на сите работи со овој имот или да се исполнат како услов, во ZF-теорија, сè започнува "од дното нагоре."

Одделните елементи на празна собата и формира група. Затоа, за разлика од претходните системи и Расел Фреге FIT не припаѓаат на универзален комплет кој вклучува сите елементи, па дури и сите групи. ZF поставува строги ограничувања на постоењето на сета. Може да постои само оние за кои тоа е јасно претпоставува или кои можат да се формулираат, со помош на повторната процеси и слично. Д.

Потоа, наместо на наивни сет концептот апстракција во кој се наведува дека одреден елемент е вклучен во сетот ако и само ако таа ги исполнува условите во принцип на поделба се користи DF, поделба или "сортирање". Наместо да се претпостави постоење на множество на сите елементи кои се без исклучок ги задоволи одредена состојба, за секој постоечки сет Aussonderung укажува на постоење на една подгрупа на сите елементи во оригиналниот сет кој ги задоволува состојба.

Потоа доаѓа апстракција принцип: ако постои множество А, потоа, за сите x во A, x припаѓа на подмножество А, кој ги задоволува состојба ако и само ако x задоволува условот C. Овој пристап се решава парадоксот Расел, бидејќи ние не може едноставно да се претпостави што е, во собата на сите групи кои не се членки на себе.

Има многу множества, можете да изберете или да ја делат во групи, кои се во себе, и оние кои не се такви, но бидејќи не постои универзален сет ние не се обврзани збир на сите сетови. Без да ја преземе проблемот поставува Расел противречност не може да се докаже.

други решенија

Покрај тоа, има следните проширувања или модификации на овие решенија, како што е теоријата вилушка-тип на "Основи на Математика" проширување на системот "математичката логика" Квин, како и поновите случувања во теоријата на множествата, направени Бернајс, Гедел и фон Нојман. На прашањето дали одговорот на нерастворливи парадокс Бертранд Расел пронајден, се уште е предмет на дебата.