Серија Фурие: историјата и влијанието на математички механизам за развој на науката

Фурие серија - овој став произволно избрани функции за периодот по ред. Општо земено, ова решение се вика елемент на проширување на една ортогонален основа. Проширувањето на функции во серија Фурие е доста моќна алатка за решавање на разни проблеми поради својствата на трансформација во процесот на интеграција, диференцијација, како и промена на изразување на аргумент и конволуција.

Човек кој не е запознаен со виша математика, како и со делата на францускиот научник Фурие, најверојатно, нема да се разбере она што "редови" и она што тие го прават. Сепак, оваа трансформација е прилично цврсто влезе во нашите животи. Тоа се користи не само математика, но, исто така, физичари, хемичари, лекари, астрономи, сеизмолозите, Oceanographers и други. Да го земеме еден одблизу со делата на големиот француски научник кој го направија откритието, пред своето време.

Човекот и Фуриеова трансформација

Фурие серија е една од методите (заедно со анализа и други) на Фуриеова трансформација. Овој процес се одвива секој пат кога некој човек слуша звук. нашето уво автоматски конвертира звук бран. Осцилаторна движење на елементарни честички во еластична медиум се прошири во серија (спектарот) последователни вредности за јачина на тоновите на различни височини. Следно, мозокот го претвора овој податоци во познати звуци за нас. Сето ова е во прилог на нашата желба или самата свест, но со цел да се разбере процесите кои се неколку години да студираат виша математика.

Прочитајте повеќе за Фуриеова трансформација

Фуриеова трансформација може да се врши аналитички, броеви и други методи. серија Фурие се броен процесот на распаѓање било осцилаторни процеси - од океанските бранови и бранови на светлината соларни циклуси (и други астрономски објекти) активност. Користењето на овие математички техники, тоа е можно да го расклопите на функцијата, што претставува било осцилаторни процеси во голем број на синусоидална компоненти, кои одат од минимум до максимум и обратно. Фуриеова трансформација е функција опишува фазата и амплитудата на синусите одговара на одредена фреквенција. Овој процес може да се користи за решавање на многу сложени равенки кои го опишуваат динамични процеси се случуваат под дејство на топлина, светлина или електрична енергија. Исто така, со серија Фурие се користи за разликување DC компоненти во сложени бранови, што го прави возможно да се толкува правилно експериментални набљудувања во медицина, хемија и астрономијата.

историски информации

Таткото на основањето на оваа теорија е француски математичар Zhan Batist Zhozef Fure. неговото име подоцна и оваа трансформација се нарекува. Првично, научниците користат техника да учат и да се објаснат механизмите на топлинска спроводливост - топлина размножување во цврсти материи. Фурие сугерираше дека првичниот неправилната дистрибуција на топлинска бран може да се распаднат во едноставни sinusoid, од кои секоја ќе има температура минимум и максимум, како и фаза. Така секоја таква компонента треба да се мери од минимум до максимум и обратно. На математичка функција која го опишува на горните и долните врвови на крива, како и фазата на секоја хармонично, наречен Фуриеова трансформација на дистрибуција на температурата на изразување. Авторот на теоријата на намалување на вкупната дистрибуција функција која е тешко да се математички опис, во многу лесно да се справи со голем број на периодични функции на синусна и косинусна функција, во износ од давање на првичната распределба.

Принципот на конверзија и ставовите на современиците

Современиците на научникот - водечки математичари од почетокот на деветнаесеттиот век - не ја прифати оваа теорија. Главниот приговор беше одобрување на Фурие дека дисконтинуирана функција опис на права линија или крива е раскинат, тоа може да се претстави како збир на синусоидална изрази кои се континуирано. Како пример, се сметаат за "чекор" Heaviside: неговата вредност е нула од лево на празнината и еден на десната страна. Оваа функција го опишува зависноста на електрична струја на променливата време за синџирот на затворање. Современата теорија, во тоа време, никогаш не се сретнал таква ситуација, кога прекини израз ќе се опише со комбинација на континуирано, заеднички функции, како експоненцијална, синус, линеарни или квадратна.

Што им пречи на француски математичари во теоријата на Фурие?

Впрочем, ако математичар беше во право да се расправаат, а потоа, собирање бесконечен тригонометриски серија Фурие, тоа е можно да се добие точна претстава на чекор на изразување, дури и ако тоа е збир на слични чекори. Во почетокот на XIX век, оваа изјава се чинеше апсурдно. Но, и покрај сите сомнежи, многу математичари прошири опсегот на проучување на овој феномен, таа се пресели подалеку од студиите на топлинска спроводливост. Сепак, повеќето научници продолжуваат да се на прашањето: "Може ли збирот на синус бран серија конвергира до точната вредност на дисконтинуирани функција"

Конвергенција на серија Фурие: Пример

Прашањето за конвергенција се зголемува секој пат кога ќе треба сума на бескрајна серија на броеви. сметаат класичен пример за разбирање на овој феномен. Може некогаш сте се стигне до ѕид, ако секој чекор е половина од претходната? Да претпоставиме дека сте на два метри од целта, првиот чекор поблиску до околу половина пат, следниот - знак на три четвртини, а по петти, ќе се надминат речиси 97 проценти од патот. Сепак, без оглед колку чекори сте го направиле ниту, од својата цел ќе се постигне во строга математичка смисла. Користење на нумерички пресметки, може да се докаже дека на крајот може да биде поблиску до произволно мала дадено растојание. Ова е еквивалентно на доказ што покажува дека вкупната вредност на една половина, една четвртина, и така натаму. Е. ќе имаат тенденција да единство.

Прашањето за конвергенција: второто доаѓање или инструмент на Лорд Келвин

Постојано се појави прашањето кон крајот на деветнаесеттиот век, кога серија Фурие се обиделе да се користи за да се предвиди интензитетот на опаѓања и текови. Во тоа време, Лорд Келвин бил измислен уред е аналоген компјутер кој е дозволено морнари морнарицата и поморска трговија монитор е природен феномен. Овој механизам дефиниран сет на фази и амплитудите на висината на масата на плимата и соодветните време моменти, внимателно мери во пристаништето во текот на годината. Секој параметар е синусоидален височини израз компонента плима и беше еден од редовните компоненти. Резултатите од мерењето се внесуваат на компјутерски уред Лорд Келвин, синтетизирање крива што е предвидено висината на вода како функција од следната година. Многу наскоро, криви се подготвени за сите пристаништа на светот.

И ако процесот ќе биде скршен со прекини функција?

Во тоа време, тоа беше очигледно дека уредот предвидуваат бран, со многу елементи на сметка може да се пресмета со голем број на фази и амплитуди, и така да обезбеди повеќе точни предвидувања. Сепак, се покажа дека овој модел не е забележано во случаите каде што приливите израз кој што ќе се синтетизираат, содржани остар скок, тоа е, се дисконтинуирани. Во случај дека апаратот за да внесете податоци од табелата на време поени, ја пресметува неколку коефициенти Фурие. Пронаоѓање на оригиналната функција се должи на синусоидална компонента (во согласност со пронајдени коефициенти). Разликата помеѓу оригиналот и реконструирани израз може да се мери во било која точка. При пресметките на повторување и споредби може да се види дека вредноста на најголемата грешка не е намалена. Сепак, тие се локализирани во регионот што одговара на точка на прекин, и било која друга точка имаат тенденција да се нула. Во 1899 година, овој резултат беше потврдено теоретски Исус Вилард Гибс на Универзитетот Јеил.

Конвергенција на серија Фурие и развојот на математиката како целина

анализа Фурие не се однесува на изрази кои содржат бесконечен број на пукне во одреден интервал. Во принцип серија Фурие, ако оригиналната функција е претставена од резултатот на реалните физички мерења, секогаш се спојуваат. Прашања на конвергенција на овој процес за одредени класи на функции доведоа до нови гранки на математиката, како што е теоријата на генерализирана функции. Тоа е поврзано со имиња како што се Шварц, Ј .. Mikusiński и Џ храмот. Според оваа теорија, на јасен и прецизен теоретска основа за такво изразување е основана како функција на Дирак делта (го опишува регионот на една област, концентрирани во бесконечно близина на точка) и "чекор" Heaviside. Преку ова дело серија Фурие почнува да се применува за решавање на равенки и проблеми, кои вклучуваат интуитивен концепти: точка полнење, точка маса, магнетни диполи и концентриран оптоварување на зрак.

метод Фурие

Фурие серија, во согласност со принципите на пречки, да започнат со процесот на распаѓање на комплексни форми во поедноставни. На пример, промена на топлински проток поради неговото поминување низ различни пречки на топлина изолационен материјал со неправилен облик или менување на површината на земјата - земјотрес, промена во орбитата на небеско тело - влијанието на планетите. Обично, овие равенки опишувајќи едноставна класичниот систем основното реши за секој поединец бранова должина. Фурие покажа дека едноставни решенија може да се сумира како и за посложени задачи. Во јазикот на математиката, Фурие серија - методологија за поднесување на изразување Збирот на хармоници - косинус и синусни бранови. Затоа, оваа анализа е познат и под името "хармоничната анализа".

Фурие серија - идеална метод на "компјутер возраст"

Пред создавањето на компјутерската технологија Фурие метод е најдобар оружје во арсеналот на научниците кои работат со бран природата на нашиот свет. Фурие серија во сложена форма ви овозможува не само да се реши едноставни проблеми кои се подложни на директна примена на законите на механиката на Њутн, туку и основните равенки. Најголем дел од откритијата на Њутн науката на деветнаесеттиот век, стана можно само поради начинот на Фурие.

Фурие серија денес

Со развојот на Фуриеова трансформација компјутери се искачи на едно ново ниво. Оваа техника е цврсто вградени во речиси сите области на науката и технологијата. Како пример, дигитален аудио и видео. Неговата имплементација е овозможена само благодарение на теорија развиена од страна на француски математичар од почетокот на деветнаесеттиот век. Така, серија Фурие во сложена форма е дозволено да се направи пробив во истражувањето на вселената. Покрај тоа, таа е под влијание на студија на физиката на полупроводнички материјали и плазма, микробранова акустика, океанографијата, радарот, сеизмологијата.

серија тригонометриски Фурие

Во математиката, серија Фурие е начин на претставување на произволно сложени функции, како збир од поедноставно. Во принцип случаи, бројот на изрази може да биде бесконечна. Колку е поголем бројот бројат при пресметувањето, се добива повеќе точно од конечниот резултат. Најчестата употреба на едноставни тригонометриски косинус или синусна функција. Во овој случај, серија Фурие се нарекува тригонометриски, а одлуката на изразите од типот - хармонична распаѓање. Овој метод игра важна улога во математиката. Прво на сите, на тригонометриски серија обезбедува средства за сликата, како и проучувањето на функции, тоа е главната единица на теорија. Покрај тоа, таа ни овозможува да се решат голем број на проблеми во математичката физика. Конечно, оваа теорија придонесе за развојот на математичката анализа, тоа доведува до голем број на многу важни гранки на математички науки (теорија на интеграли, теоријата на периодични функции). Покрај тоа, почетна точка за развој на следните теории: множества, функции на една реална променлива, функционална анализа, и, исто така, се вградија во темелите за хармонично анализа.