Дијагонала рамностран трапез. Што е средната линија на трапез. Видови на трапезоди. Трапез - тоа ..

Трапез - посебен случај на четириаголник, во која еден пар на страни е паралелно. Терминот "трапез" е изведен од грчкиот збор τράπεζα, што значи "маса", "маса". Во оваа статија ние ќе го разгледаме типови на трапез и нејзините својства. Исто така, ние се погледне во тоа како да се пресмета на одделните елементи на геометриската фигура. На пример, на дијагонала на рамностран трапез, средната линија, површина и други. На материјалот содржан во основно геометрија популарен стил, т. Е. на лесно достапен начин.

Преглед

Прво, да се разбере она што четириаголник. Оваа бројка е специјален случај на многуаголник има четири страни и четири темиња. Две темиња на четириаголник, кои не се во непосредна близина, наречен спротивното. Истото може да се каже на два кои не се соседни страни. Главните видови на quadrangles - паралелограм, правоаголник, ромб, квадрат, трапез и делтоид.

Па назад на трапез. Како што рековме, оваа бројка двете страни се паралелни. Тие се нарекуваат бази. На другите две (не-паралелна) - на двете страни. Материјалите на разни прегледи и испитувања многу често можете да се исполнат предизвици поврзани со трапезоди чие решение често бара знаење на студентот не се опфатени со програмата. Училиште геометрија курс ги воведува учениците со агли и дијагонали својства, како и средната линија на рамнокрак трапез. Но, освен што се однесуваат на геометриски облик има и други функции. Но, за нив подоцна ...

видови трапез

Постојат многу видови на оваа бројка. Сепак, најчесто вообичаено да се разгледа две од нив - рамнокрак и правоаголни.

1. правоаголен трапез - фигура во кои една од страните нормална на база. Таа има два агли се секогаш еднаков на деведесет степени.

2. рамнокрак трапез - геометриска фигура чии страни се еднакви. Значи, и аглите на основата, исто така, се еднакви.

Главните принципи на методи за проучување на својствата на трапез

Основните принципи вклучуваат употреба на т.н. пристап задача. Всушност, нема потреба да влезат во теоретско Геометрија на нови својства на оваа бројка. Тие можат да бидат отворени или се во процес на формулирање на различни задачи (подобар систем). Тоа е многу важно наставникот да знаат што задачи што треба да се стави во предниот дел на студенти во било кое дадено време на процесот на учење. Покрај тоа, секој трапез имотот може да се претстави како клучна задача во системот на задача.

Вториот принцип е т.н. спирала организација на студијата "извонреден" трапез својства. Ова значи враќање на процесот на учење на индивидуалните карактеристики на геометриската фигура. Така, на студентите полесно да се сеќаваат на нив. На пример, во сопственост на четири поени. Тоа може да се докаже како и во студијата на сличност и потоа користење на вектори. А еднакви триаголници во непосредна близина на страни на слика, тоа е можно да се докаже со користење на не само на својствата на триаголници со еднаква висина спроведена на страните на кои лежат на права линија, но, исто така, со користење на формулата S = 1/2 (ab * sinα). Исто така, можно е да се работи од законот синусна на впишан трапез или правоаголен триаголник и трапез е опишано во т. Д.

Употребата на "воннаставни" располага со геометриска фигура во содржината на училиште разбира - на барањата на нивната технологија наставата. Постојана врска со проучат особините на премин на други им овозможува на студентите да ги научат трапез подлабоко и обезбедува успехот на задачата. Значи, да продолжиме со проучувањето на оваа извонредна фигура.

Елементи и својствата на рамнокрак трапез

Како што забележавме, во оваа геометриска фигура страни се еднакви. Сепак, тоа е познато како право трапез. И она што е толку значаен и зошто го добил своето име? На посебните карактеристики на оваа бројка се однесува дека таа има не само еднакви страни и агли на основата, но, исто така, дијагонално. Покрај тоа, збирот на аглите на рамнокрак трапез е еднаков на 360 степени. Но, тоа не е се! Само околу рамнокрак може да се опише со еден круг на сите познати трапезоди. Ова се должи на фактот дека сумата на спротивните агли во оваа бројка е 180 степени, и само под овој услов може да се опише како круг околу четириаголник. Следниве својства на геометриската фигура која е во тоа што растојанието од врвот на база на проекцијата на спротивната врвови на линијата што ја содржи оваа база ќе биде еднаква на средната линија.

Сега да ги погледнеме на тоа како да се најде на аглите на рамнокрак трапез. Размислете за решение на овој проблем, под услов дека големината на страните позната личност.

одлука

Тоа е вообичаено за означување на четириаголник буквите A, B, C, D, каде БС и БП - основа. Во рамнокрак трапез страни се еднакви. Претпоставуваме дека нивната големина е еднаква на X и Y димензии се бази и Z (помала и поголема, соодветно). За пресметување на аголот на потреба да се трошат во H. висина Резултатот е правоаголен триаголник АБН каде AB - хипотенузата и BN и AN - нозете. Се пресмета големината на една нога: одземе од поголема база минимална, и резултатот е поделена од страна на 2. запишување формула: (ZY) / 2 = F. момент, за да се пресмета акутна агол на функцијата cos употребата триаголник. Ние се добие по влезот на: cos (β) = X / F. Момент се пресмета агол: β = Arcos (X / F). Понатаму, знаејќи еден агол, може да се утврди и второ, да се направи ова основно аритметичка операција: 180 - β. Сите агли се дефинирани.

Исто така постои и второто решение на овој проблем. На почетокот е исфрлено од агол во висина на ногата Н. пресметува вредноста на БН. Знаеме дека на плоштадот на хипотенузата на правоаголен триаголник е еднаква на збирот на квадратите на другите две страни. Добиваме: BN = √ (X2 F2). Напред, ние ги користиме на тригонометриски функции tg. Резултатот е: β = arctg (BN / F). На мртов агол е пронајден. Следниот, ние се дефинира тап агол, како и во првиот метод.

На имотот на дијагоналите на рамнокрак трапез

Прво, ние пишуваме на четири правила. Ако дијагонала во рамнокрак трапез се нормални, тогаш:

- висината на фигура е еднаква на збирот на бази, поделени од страна на две;

- нејзината висина и средната линија се еднакви;

- областа на трапез е еднаков на квадратот на висината (централната линија на половина бази);

- на квадратен на дијагоналата на квадрат е еднаква на половина од збирот на два пати на квадратен бази или средишната линија (висина).

Сега гледам на формула дефинирање на дијагонала рамностран трапез. Ова парче на информации може да се подели во четири дела:

1. Формула дијагонална должина преку негова страна.

Ние се претпостави дека е - пониска основа, Б - На врв, Ц - еднакви страни, D - дијагонала. Во овој случај, должината може да се утврди како што следува:

D = √ (C2 + A * B).

2. Формула за дијагонален должина на косинусна функција.

Претпоставуваме тоа, што А е - пониска основа, B - На врв, C - еднакви страни, D - дијагонала, α (во долниот база) и β (горниот база) - трапез агли. Добиеме на следнава формула, со што може да се пресмета должината на дијагоналата:

- D = √ (А2 + S2-2A * C * cosα);

- D = √ (А2 + S2-2A * C * cosβ);

- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosβ);

- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosα).

3. Формула дијагонален должина на рамнокрак трапез.

Претпоставуваме тоа, што А е - пониска основа, Б - горниот, D - дијагонална, М - средната линија H - висина, P - површина на трапез, α и β - аголот помеѓу дијагонали. Одредување на должина од следниве формули:

- D = √ (М2 + N2);

- D = √ (H 2 + (A + B) 2/4);

- D = √ (N (A + B) / sinα) = √ (2n / sinα) = √ (2M * N / sinα).

За овој случај, на еднаквост: sinα = sinβ.

4. Формула дијагонална должина преку двете страни и висина.

Претпоставуваме тоа, што А е - пониска основа, B - На врв, C - страни, D - дијагонална, H - висина, α - агол со пониска основа.

Одредување на должина од следниве формули:

- D = √ (H 2 + (A-P * ctgα) 2);

- D = √ (H 2 + (B + F * ctgα) 2);

- D = √ (А2 + S2-2A * √ (C2-H2)).

Елементи и својства на правоаголен трапез

Ајде да погледнеме во она што се заинтересирани за оваа геометриска фигура. Како што рековме, ние имаат правоаголен трапез два прави агли.

Покрај класичната дефиниција, постојат и други. На пример, правоаголни трапезоиден - трапез во кој едната страна е нормална на база. Или форма има на страната агли. Во овој вид на висина трапезоди е на страната која е нормална на бази. Средната линија - сегмент што ги поврзува midpoints на двете страни. На имотот на наведениот елемент е тоа што е паралелна со бази и еднаков на половина од нивната сума.

Сега ајде да ги пресмета основните формули кои ја дефинираат геометриски форми. За да го направите ова, ние се претпостави дека А и Б - основа; C (нормално на база) и D - страни на правоаголни трапез, М - средната линија, α - акутна агол, P - област.

1. страна нормална на бази, бројка еднаква на висината (C = N), и е еднаква на должината на втората страна А и синус од α на аголот на поголема база (C = A * sinα). Покрај тоа, таа е еднаква на производот на тангента на α на акутна агол и разликата во основи: C = (A-B) * tgα.

2. страна D (не е нормална на база) еднаква на количник на разликата на A и B и косинус (α) или акутна агол на приватниот height фигури H и синус акутна агол: A = (A-B) / cos α = C / sinα.

3. страна која е нормална на бази, е еднаква на квадратниот корен на квадратот на разликата D - втората страна - и квадратна основа разлики:

C = √ (Q2 (A-B) 2).

4. страна правоаголен трапез е еднаква на квадратниот корен на квадратен збирот на квадратен страна и C бази геометриски облик разлика: D = √ (C2 + (A-B) 2).

5. страна C е еднакво на количник од квадратни двојно повеќе од збирот на нејзините основи: C = P / M = 2P / (A + B).

6. Од областа што е дефинирано од страна на производ М (линијата на центарот на правоаголни трапез) во висина или странични насока нормална на основи: P = M * N = M * C.

7. позиција C е количник на два пати на квадратен облик од страна на производ синус акутна агол и збирот на нејзините основи: C = P / m * sinα = 2P / ((A + B) * sinα).

8. Формула страна на правоаголен трапез преку својата дијагонала, и аголот помеѓу нив:

- sinα = sinβ;

- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sinα = (D1 * D2 / (A + B)) * sinβ,

каде Д1 и Д2 - дијагоналата на трапез; α и β - аголот помеѓу нив.

9. Формула страна преку агол на долниот база и другите: A = (A-B) / cosα = C / sinα = H / sinα.

Од трапез со прави агли е посебен случај на трапез, сите формули кои ја детерминираат овие бројки, ќе се сретне и правоаголни.

својства incircle

Ако состојбата се вели дека во правоаголен трапез впишан круг, а потоа можете да го користите следниве својства:

- износот на базата е збирот на страни;

- растојанието од врвот на форма на правоаголна до точките на tangency на впишан круг е секогаш еднакви;

- висина на трапез е еднаква на страна, нормално на бази, и е еднаква на дијаметар на кругот ;

- центарот на кругот е точката во која се сечат симетрали на агли ;

- ако бочната страна на точка на контакт е поделена во должини n и m, а потоа на радиусот на кругот е еднаков на квадратниот корен од производот на овие сегменти;

- четириаголник формирана од страна на лицата за контакт, на врвот на трапез и центарот на впишан круг - тоа е плоштад, на чија страна е еднаква на радиусот;

- површина на слика е производ на разумот и на производот од половина сума од базите во својот врв.

слични трапез

Оваа тема е многу корисна за проучување на својства на геометриски фигури. На пример, на дијагонала подели на четири триаголници трапез, и се во непосредна близина на база на, како и на двете страни - на еднакви. Оваа изјава може да се нарече сопственост на триаголници, кој е скршен трапез својата дијагонали. Во првиот дел од оваа изјава се докажува преку знакот на сличноста на двата агли. За да ја докаже вториот дел е подобро да се користи методот што е наведено подолу.

доказ

Прифатете дека бројката ABSD (АД и BC - на основа на трапез) е скршени дијагонали HP и наизменична струја. Точката на пресек - О. Ние се четири триаголници: AOC - во долниот база, БОШ - горниот база, АБО и СОД на страни. Триаголници СОД и биофидбек имаат заеднички висина во тој случај, ако сегменти на бо и OD се нивните бази. Сметаме дека разликата на нивните области (P) е еднаков на разликата на овие сегменти: ОЈИ / PSOD = BO / ML = К. Како резултат на тоа, PSOD = ОЈИ / К. Слично на тоа, AOB триаголници и биофидбек имаат заедничка висина. Прифатени за нивната база сегменти SB и ОА. Добиеме ОЈИ / PAOB = CO / ОА = K и PAOB = ОЈИ / К. Од ова следува дека PSOD = PAOB.

Да се консолидира материјал студентите се охрабруваат да се најде врската помеѓу области на триаголници добиени, што е скршен трапез својата дијагонали, донесување на одлука за следната задача. Познато е дека триаголници БОШ и АДП области се еднакви, тоа е потребно да се најде во областа на трапез. Од PSOD = PAOB, тогаш PABSD ОЈИ PAOD + = + 2 * PSOD. Од сличноста на триаголници БОШ и ANM следува дека BO / OD = √ (ОЈИ / PAOD). Резултат на тоа, ОЈИ / PSOD = BO / OD = √ (ОЈИ / PAOD). Земете PSOD = √ (* ОЈИ PAOD). Потоа PABSD ОЈИ PAOD + = + 2 * √ (PAOD ОЈИ *) = (+ √PBOS √PAOD) 2.

својства сличност

Продолжува да се развива оваа тема, тоа е можно да се докаже, и други интересни функции на трапезоди. Значи, со помош на сличност може да се докаже сегмент на имотот, која минува низ точката формирана од страна на пресекот на дијагоналите на геометриската фигура, паралелно на земјата. За ова да го реши следниот проблем: тоа е потребно да се најде РК сегмент должина која минува низ точката О. Од сличноста на триаголници АДП и SPU следува дека АО / OS = AD / БС. Од сличноста на триаголници АДП и ASB следува дека AB / AC = PO / АД = BS / (BP + BS). Ова имплицира дека БС * PO = AD / (АД + п.н.е.). Слично на тоа, од сличноста на триаголници MLC и ABR следува дека во ред * БП = BS / (BP + BS). Ова имплицира дека OC и RC = RC = 2 * БС * АД / (АД + п.н.е.). Сегмент што минува низ точката на пресекот на дијагоналите паралелни на база и поврзување на двете страни, точката на пресек е поделена на половина. Нејзината должина - е хармонична средина од причина фигури.

Се разгледа на следниве карактеристики на трапез, кој се нарекува сопственост на четири поени. точката на пресекот на дијагоналите (Д), на пресекот на продолжување на страни (Е), како и во средината на бази (T и G) секогаш лежат на иста линија. Тоа е лесно да се докаже на методот на сличност. Како резултат на триаголници се слични BES и АЕД, и секоја од нив содржи средна ЕТ и DLY се подели на врвот агол E во еднакви делови. Според тоа, точката Е, Т и F се колинеарни. Слично на тоа, на иста линија се поставени во однос на Т О, и Г. Ова следи од сличноста на триаголници БОШ и ANM. Оттука можеме да заклучиме дека сите четири услови - Е, Т, O и F - ќе лежат на една права линија.

Користат слични трапезоиди може да се понуди на студентите да се најде должината на сегментот (LF), која го дели фигура во две слично. Ова намалување мора да биде паралелно со бази. Од добиените трапез АПФСО LBSF и слично, BS / LF = LF / АД. Ова значи дека LF = √ (ВЅ * БП). Можеме да заклучиме дека сегментот кој се дели на два трапез како, има должина еднаква на геометриска средина од должините на бази дознаам.

Размислете за следново сличност сопственост. Таа се заснова на сегментот што го дели трапез во две еднакви големина парчиња. Прифатете дека трапез ABSD сегмент е поделена на два слични ЕХ. Од врвот на Б намали висината на тој сегмент е поделена на два дела - Да Б1 и Б2. Добивање PABSD / 2 = (ВЅ + ЕХ) * V1 / 2 = (АП + ЕХ) * Б2 / 2 = PABSD (BP + BS) * (Б1 + Б2) / 2. Понатаму сочинуваат систем, каде што првиот равенката (BS + EH) * B1 = (BP + EH) * Б2 и вториот (BS + EH) * B1 = (BP + BS) * (Б1 + Б2) / 2. Следи дека Б2 / B1 = (BS + ЕХ) / (БП + ЕХ) и БС + EH = ((BS + БП) / 2) * (1 + B2 / B1). Сметаме дека должината на поделба на трапез на два еднакви, еднаква на просечната должина на квадратната основа: √ ((CN2 + aq2) / 2).

заклучоци сличност

Така, имаме докажано дека:

1. сегмент поврзување на средината на трапез на бочните страни, паралелно со BP и БС и БС е аритметичка средина и BP (база на должината на трапез).

2. барот минува низ точката О на пресекот на дијагоналите паралелни АД и BC ќе биде еднаква на хармониската средна броеви БП и БС (2 * БС * АД / (АД + п.н.е.)).

3. сегмент кршење во слични трапез има должина геометриска средина бази БС и БП.

4. елемент кој го дели форма на два еднакви големина, должина значи квадратни броеви БП и БС.

Да се консолидира материјал и свеста за поврзаноста помеѓу сегментите на студентот е потребно да ги изгради за специфични трапез. Тој лесно може да прикаже просечната линија и сегментот кој минува низ точката - пресекот на дијагоналите на фигури - паралелно на земјата. Но, каде ќе биде третиот и четвртиот? Овој одговор ќе доведе студентите во откривањето на непознатото односот помеѓу просечните вредности.

Сегмент се приклучи на midpoints на дијагоналите на трапез

Размислете за следново сопственост на фигурата. Ние прифаќаме дека сегментот MN е паралелна со бази и се подели на половина дијагонално. пресечната точка се нарекува W и S овој сегмент ќе биде еднаква на половина причина разликата. Дозволете ни да се испита ова во повеќе детали. MSH - просечната линија на ABS триаголник, што е еднакво на BS / 2. Minigap - во средната линија на Велика Британија, триаголник, тоа е еднакво на АД / 2. Потоа ќе најдеме дека SHSCH = minigap-MSH затоа SHSCH = AD / 2-BS / 2 = (АД + п.н.е.) / 2.

центарот на гравитација

Ајде да погледнеме како да се дефинира елемент за дадена геометриска фигура. За да го направите ова, мора да се прошири на база во спротивни насоки. Што значи тоа? Тоа е потребно за да додадете базата на горниот дел од дното - на било која од страните, на пример, на десната страна. Пониска продолжи должината на горниот лев. Следно, се поврзете нивните дијагонала. Точката на пресек на овој сегмент со централната линија на фигурата е центар на гравитација на трапез.

Впишани и опишани трапез

листа Ајде карактеристики како личности:

1. линија може да биде впишан во круг само ако тоа е рамнокрак.

2. Околу кругот може да се опише како трапез, под услов збирот на должините на нивните бази е збирот на должините на страните.

Последици од впишан круг:

1. Висината на трапез е опишано секогаш еднаков на двојно поголем радиус.

2. На страната на трапез е опишано се гледа од центарот на кругот под прав агол.

Првата последица е очигледно, и да докаже вториот е потребно да се утврди дека аголот на СОД е директен, што е, всушност, исто така нема да биде лесно. Но на знаење на овој имот ви дозволува да користите право триаголникот за решавање на проблеми.

Сега ние наведете последици за рамнокрак трапез, кој е впишан во круг. Добиеме тоа што, висината е геометриска средина Слика основи: H = 2R = √ (ВЅ * BP). Исполнување на основната метод за решавање проблеми за трапезоди (принцип на две висини), студентот мора да се решат следните задача. Прифатете дека БТ - висината на рамнокрак фигури ABSD. Треба да се најде се протега на АТ и АП. Примена на формулата е опишано погоре, тоа ќе го направи не е тешко.

Сега, да се објасни како да се одреди радиусот на кругот од областа опишана трапез. Испуштени од врвот на висината на B врз основа BP. Од кругот впишан во трапез, БС + 2AB = БП или AB = (BS + БП) / 2. Од триаголник АБН откритие на sinα = BN / 2 * AB = BN / (АД + п.н.е.). PABSD = (BS + BP) BN * / 2, BN = 2R. Добивање PABSD = (БП + ВЅ) * Р, следува дека R = PABSD / (АД + п.н.е.).

.

Сите формули трапез средната линија

Сега е време да се оди до последната точка на оваа геометриска фигура. Ние ќе го разбере, она што е на средната линија на трапез (М):

1. преку основи: M = (A + B) / 2.

2. По висина, основата и аглите:

• М-H = A * (ctgα + ctgβ) / 2;

• M + H = D * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. Преку висина и дијагонална агол помеѓу нив. На пример, Д1 и Д2 - дијагоналата на трапез; α, β - аголот помеѓу нив:

M = D1 D2 * * sinα / 2 H = D1 D2 * * sinβ / 2H.

4. Во рамките на областа и висина: M = R / N.