Која е тангентата на кругот? Својства на тангента на кругот. Заеднички тангента на два круга

Сеци, тангенти - сето ова стотици пати може да се слушне на лекциите за геометрија. Но, дипломирањето од училиште, ги поминува годините, и сето ова знаење е заборавено. Што треба да се сетам?

Суштина

Терминот "тангента на кругот" е познат на сите, веројатно. Но, тешко дека секој ќе може брзо да ја формулира својата дефиниција. Во меѓувреме, тангента е права линија која лежи во една рамнина со кружница која се пресекува само во еден момент. Може да има голем број од нив, но сите тие имаат исти својства, за што ќе разговараме подолу. Не е тешко да се претпостави дека точката на тангента е местото каде кругот и линијата се сечат. Во секој случај, тоа е едно, но ако има повеќе, тоа ќе биде веќе отсечено.

Историја на откривање и проучување

Концептот на тангента се појави во античко време. Изградбата на овие права први кон кругот, а потоа и на елипсите, параболите и хиперболите со помош на владетел и компас се вршеше дури и во почетните фази на развојот на геометријата. Се разбира, историјата не го задржала името на откривачот, но очигледно е дека дури и во тоа време луѓето ги знаеле својствата на тангентата на кругот.

Во модерните времиња, интересот за овој феномен повторно се разгоре - започна нов круг на проучување на овој концепт во врска со откривањето на нови кривини. Така, Галилео го претстави концептот на циклоид, а Фермат и Декарт изградиле тангента за тоа. Што се однесува до круговите, се чини дека дури и за древните немаше тајни во оваа област.

Својства

Радиусот навлегуван во пресечната точка ќе биде нормален на права линија. Ова е Основен, но не и единствен имот кој има тангента на кругот. Друга важна карактеристика вклучува две прави линии. Значи, преку една точка која лежи надвор од кругот, може да нацртате две тангенти, а нивните сегменти ќе бидат еднакви. Постои уште една теорема на оваа тема, но ретко се одржува во рамки на стандарден курс, иако е исклучително погодно за решавање на некои проблеми. Тоа звучи вака. Од една точка која се наоѓа надвор од кругот, на неа се привлекуваат тангента и секант. Сегментите AB, AC и AD се формираат. A е пресекот на линиите, B е точка на тангенција, C и D се пресеци. Во овој случај, следната еднаквост ќе биде валидна: должината на тангентата на кругот, квадрат, ќе биде еднаква на производот од сегментите AC и AD.

Од погоре, постои важна последица. За секоја точка од кругот може да се конструира тангента, но само една. Доказот за ова е прилично едноставен: теоретски пуштање на нормалата од радиусот, дознаваме дека формираниот триаголник не може да постои. И тоа значи дека тангентата е уникатна.

Градење

Меѓу другите проблеми во геометријата постои и посебна категорија, како правило, не Уживање во љубовта на учениците и учениците. За да се решат задачите од оваа категорија, потребни се само компас и владетел. Ова се градежни задачи. Таму се и изградбата на тангента.

Значи, со оглед на кругот и точка што лежи надвор од нејзините граници. И потребно е да се повлече преку нив тангента. Како може да се направи ова? Пред сè, треба да нацртаме сегмент помеѓу центарот на кругот О и дадена точка. Потоа, користејќи го компасот, треба да го поделите на половина. За да го направите ова, треба да наведете радиус - нешто повеќе од половина од растојанието помеѓу центарот на оригиналниот круг и дадена точка. По ова, треба да изградиме две пресечни лакови. И радиусот на компасот не треба да се менува, а центарот на секој дел од кругот е почетната точка и O, соодветно. Раскрсниците на лаците мора да се спојат, што ќе го дели сегментот на половина. Поставете радиус еднаков на ова растојание на компасот. Понатаму, со центарот во пресечната точка, конструирај друг круг. Ќе содржи и оригиналната точка и О. Ќе има уште две раскрсници со дадениот круг во проблемот. Тие ќе бидат точки на тангента за првично одредената точка.

Интересно

Тоа беше изградбата на тангенти на кругот што доведе до раѓање Диференцијален калкулус. Првото дело на оваа тема беше објавено од познатиот германски математичар Лајбниц. Тој ја предвидел можноста за изнаоѓање максимум, минимум и тангенти, без оглед на фракционите и ирационалните вредности. Па, сега се користи за многу други пресметки.

Покрај тоа, тангентата на кругот е поврзана со геометриското значење на тангентата. Од ова произлегува неговото име. Во превод од латински тангенти - "тангента". Така, овој концепт е поврзан не само со геометријата и диференцијалниот калкулус, туку и со тригонометрија.

Два круга

Не секогаш тангентата ќе влијае само на една фигура. Ако можете да нацртате огромен број правци во еден круг, тогаш зошто не обратно? Можете да. Тоа е само проблемот во овој случај е сериозно комплициран, бидејќи тангентата кон два круга не може да помине низ никакви точки, а взаемното уредување на сите овие бројки може да биде многу Различни.

Видови и сорти

Кога станува збор за два круга и една или повеќе редови, дури и ако е познато дека тие се тангента, не станува јасно веднаш како се распоредени сите овие фигури во однос на едни со други. Врз основа на тоа, разликуваат неколку сорти. Значи, круговите можат да имаат една или две заеднички точки или воопшто да не ги имаат. Во првиот случај, тие ќе се сечат, а во втората - допир. И тука ги разликуваме две сорти. Ако еден круг е, како што беше, вграден во вториот, тогаш допирот се нарекува внатрешен, ако не, тогаш надворешен. Можете да го разберете меѓусебното уредување на фигури не само од цртежот, туку и со информации за збирот на нивните радиуси и растојанието меѓу нивните центри. Ако овие две количини се еднакви, тогаш круговите допираат. Ако првиот е поголем - се сече, а ако помалку - тогаш немаат заеднички точки.

Значи тоа е со прави линии. За секој два круга кои немаат заеднички точки,
Конструирај четири тангенти. Двајца од нив ќе се вкрстуваат меѓу фигурите, тие се нарекуваат внатрешни. Неколку други се надворешни.

Ако зборуваме за кругови кои имаат една заедничка точка, тогаш проблемот е сериозно поедноставен. Факт е дека за секој заеднички аранжман во овој случај тангентата ќе има само еден. И ќе помине низ точката на нивното вкрстување. Значи изградбата на тешкотијата нема да предизвика.

Ако фигурите имаат две пресечни точки, за нив може да се конструира права линија која се однесува на кругот, и едното и второто, туку само надворешното. Решението за овој проблем е аналогна на она што ќе се дискутира подоцна.

Решавање проблеми

И внатрешната и надворешната тангента на два круга, во градењето не се толку едноставни, иако овој проблем е решен. Факт е дека за ова се користи помошна фигура, така што самиот да се размислува за таков метод Е прилично проблематично. Така, се дадени два круга со различни радиуси и центри О1 и О2. За нив, треба да изградиме два пара тангенти.

Пред сè, во близина на центарот на поголем круг, треба да изградиме помошен. Во исто време, разликата помеѓу радиусите на двете оригинални фигури треба да се утврди на компасот. Од центарот на помал круг, се конструираат тангенти на помошен круг. После тоа, од О1 и О2, перпендикулите на овие прави линии се прават пред преминување со оригиналните фигури. Како што следува од основната особина на тангентата, се наоѓаат потребните точки на двата круга. Проблемот е решен, барем, неговиот прв дел.

Со цел да се конструираат внатрешни тангенти, неопходно е да се реши практично Сличен проблем. Повторно ни е потребна помошна фигура, но овој пат неговиот радиус ќе биде еднаков на збирот на оригиналните. За тоа, тангенти се конструирани од центарот на еден од овие кругови. Натамошниот тек на решението може да се разбере од претходниот пример.

Тангентата на кругот, па дури и на две или повеќе не е толку тешка задача. Се разбира, математичарите одамна престанале да ги решаваат ваквите проблеми рачно и да веруваат во пресметките на посебните програми. Но, немојте да мислите дека сега не треба да бидете во можност да го направите тоа сами, бидејќи правилно да формулирате задачи за компјутерот што треба да направите многу и да разберете. За жал, постојат стравувања дека по завршната транзиција кон тестот форма на контрола на знаењето, градежните задачи ќе предизвикаат се повеќе и повеќе тешкотии за учениците.

Како и за наоѓање на заеднички тангенти за повеќе кругови, ова не е секогаш можно, дури и ако тие се во иста рамнина. Но, во некои случаи може да се најде таква права линија.

Примери од животот

Вообичаено се јавува заедничка тангента за два круга, иако ова не е секогаш забележливо. Транспортери, блок системи, преносни ремени на макари, тензија на навојот во машина за шиење, па дури и само велосипедска низа се сите примери од животот. Затоа, немојте да мислите дека геометриските проблеми остануваат само во теорија: во областа на инженерството, физиката, градежништвото и многу други области тие наоѓаат практична примена.