Основи на математичката анализа. Како да го пронајдете дериватот?

Дериватот на некоја функција f (x) во одредена точка x0 е границата на односот на инкрементот на функцијата со прирастот на аргументот, под услов да x следи до 0, а границата постои. Дериватот обично се означува со прост, понекогаш со точка или преку диференцијал. Често, рекорд кој е нацртан преку граница е погрешно, бидејќи таквата репрезентација се користи исклучително ретко.

Функција која има деривати во одредена точка x0 се вели дека е диференцибилна во таква точка. Да претпоставиме дека D1 е множество на точки во кои f е диференциран. Со назначување на секој број бројот x кој припаѓа на D f '(x), добиваме функција со доменот на означувањето D1. Оваа функција е дериват на y = f (x). Се означува како f '(x).

Покрај тоа, дериватот е широко користен во физиката и инженерството. Да го разгледаме наједноставниот пример. Материјалната точка директно се движи по координатната оска, на што е даден законот за движење, односно координатата x на оваа точка е позната функција x (t). За време на временскиот интервал од t0 до t0 + t, поместувањето на точката е x (t0 + t) -x (t0) = x, а нејзината просечна брзина v (t) е x / t.

Понекогаш карактерот на движењето е претставен на таков начин што, за мали временски интервали, просечната брзина не се менува, што значи дека движењето се смета за пообемно со поголем степен на точност. Или вредноста на средната брзина, ако t0 следи до некоја апсолутна точна вредност, која се нарекува моментална брзина v (t0) од оваа точка во одреден момент на времето t0. Се претпоставува дека моменталната брзина v (t) е позната за секоја диференцирана функција x (t), при што v (t) е еднакво на x '(t). Едноставно кажано, брзината е дериватот на временската координата.

Тогашната брзина има и позитивни и негативни вредности, а исто така и вредност од 0. Ако е позитивна за некој временски интервал (t1; t2), тогаш точката се движи во иста насока, односно x (t) координата се зголемува со времето, и ако V (t) е негативен, тогаш координата x (t) се намалува.

Во посложени случаи, точката се движи во авион или во вселената. Тогаш брзината е векторска количина и ја одредува секоја од координатите на векторот v (t).

Слично на тоа, може да се спореди со забрзувањето на движењето на една точка. Брзината е функција на времето, односно v = v (t). И дериватот на таква функција е забрзувањето на движењето: a = v '(t). Тоа е, излегува дека дериватот на брзината во однос на времето е забрзување.

Да претпоставиме дека y = f (x) е некоја диференцирана функција. Тогаш можеме да го разгледаме движењето на материјалната точка долж координатната линија, која се појавува зад законот x = f (t). Механичката содржина на дериватот овозможува да се претстави визуелна интерпретација на теоремите на диференцијалниот калкулус.

Како да го пронајдете дериватот? Наоѓањето на дериватот на функцијата се нарекува нејзина диференцијација.

Ќе дадеме примери за тоа како да ја пронајдеме изведената функција:

Дериватот на константна функција е нула; Дериватот на функцијата y = x е еднаков на еден.

И како да се најде дериват на дел? За да го направите ова, разгледајте го следниов материјал:

За секој x0 <0 имаме

Y / x = -1 / x0 * (x + x)

Постојат неколку правила за изнаоѓање дериват. Имено:

Ако функциите А и В се диференцирани во точката x0, тогаш нивната сума се диференцира во точката: (A + B) '= A' + B '. Едноставно кажано, дериватот на сумата е еднаков на збирот на дериватите. Ако функцијата е диференцирана во некоја точка, тогаш нејзиното зголемување оди на нула кога зголемувањето на аргументот е нула.

Ако функциите А и В се диференцирани во точката x0, тогаш нивниот производ се диференцира на точката: (A * B) '= A'B + AB'. (Вредностите на функциите и нивните деривати се пресметуваат на точката x0). Ако функцијата A (x) е диференцирана во точката x0, а C е константа, тогаш CA се диференцира во оваа точка и (CA) '= CA'. Тоа е, како константен фактор се зема како знак на дериватот.

Ако функциите А и В се диференцирани во точката x0, а функцијата B не е еднаква на нула, тогаш нивниот сооднос е исто така диференциран во точката: (A / B) '= (A'B-AB') / B * B.